Corrigé - Par Abdoulaye TALL

Enoncé: Mathematiques - Tle(BAC) - Série D - 2003

Contenu:

Exercice 1

1. Montrons que \(w_n\)est une suite géométrique.

 \(w_{n+1} = v_{n+1} -u_{n+1} \\ w_{n+1} = \frac{u_n+3v_n}{4} - \frac{u_n+2v_n}{3} \\ w_{n+1} = \frac{3u_n+9v_n-4u_n-8v_n}{12} \\ w_{n+1} = \frac{v_n-u_n}{12} \\ w_{n+1} = \frac{1}{12} w_n\)

Donc \(w_n\) est une suite géométrique de paramètre 1/12.

2. Montrons que \(t_n\)est une suite stationnaire.

\(t_{n+1} = 3 u_{n+1} + 8 v_{n+1} \\ t_{n+1} = \frac{3}{3} (u_n+2v_n)+\frac{8}{4}(u_n+3v_n) \\ t_{n+1} = 3u_n+8v_n \\ t_{n+1} = t_n\)

Donc \(t_n\)est une suite stationnaire.

3. Puisque \(w_n\)est une suite géometrique de paramètre 1/12 et que \(w_0 = v_0-u_0 = 11\)alors \(w_n = \frac{11}{12^n}\)pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Puisque \(t_n\)est une suite stationnaire et que \(t_0 = 3u_0+8v_0 = 3\times1+8 \times 12=99\)alors \(t_n = 99\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Par ailleurs \(u_n = \frac{8}{11}(\frac{1}{8} t_n - w_n)\)donc \(u_n = 9 - \frac{8}{12^n}\). Aussi \(v_n = w_n + u_n\) donc \(v_n = 9+\frac{3}{12^n}\).

Exercice 2

1. Calculons \(z_0,z_1 \text{ et } z_2\).

\(z_0 = x_0+i y_0 = i\)

\(z_1 = x_1 + i y_1 = (x_0-y_0) + i (x_0+y_0) = -1 + i\)

\(z_2 = x_2+iy_2 = (x_1 - y_1)+i(x_1+y_1) \\ = (-1-1)+i(-1+1) = -2\)

2. a) Montrons que \(z_n = (1+i) z_{n-1}\). En effet,

\(z_n = x_n + i y_n \\ z_n = (x_{n-1} - y_{n-1}) + i (x_{n-1} + y_{n-1}) \\ z_n = (x_{n-1}+i y_{n-1}) + i(x_{n-1} + i y_{n-1}) \\ z_n = z_{n-1} + i z_{n-1} \\ z_n = (1+i) z_{n-1}\)

2. b) Calculons maintenant \(z_n\) en fonction de \(n\). On a

\(z_n = (1+i) z_{n-1} \text{donc } z_{n-1} = (1+i) z_{n-2}\)

Alors \(z_n = (1+i)(1+i)z_{n-2} = (1+i)^2 z_{n-2}\)

Ainsi de suite lorsqu'on continue, on arrive à

\(z_n = (1+i)^n z_0\)

Et comme \(z_0 = i\) alors \(z_n = (1+i)^ni\)

Mettons à présent \(z_n\) sous forme trigonometrique. On a \(z_n = (1+i)^ni = (\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})+i\sin(\frac{\pi}{4})))^ni\\ z_n = \sqrt{2}^n(\cos(n\frac{\pi}{4})+i\sin(n\frac{\pi}{4}))i\) selon la formule de Moivre. Et donc

\(z_n = \sqrt{2}^n (-\sin(n\frac{\pi}{4})+i\cos(n\frac{\pi}{4}))\)

Et comme \(-\sin(a) = \cos(a+\pi/2) \text{ et que } \cos(a) = \sin(a+\pi/2)\) alors

\(z_n = \sqrt{2}^n(\cos(n\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2})+i\sin(n\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}))\)

2. c) Déduisons en \(x_n\) et \(y_n\). Comme \(z_n = x_n + i y_n\) et que \(z_n = \sqrt{2}^n(\cos(n\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2})+i\sin(n\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}))\) alors on a:

\(x_n = \sqrt{2}^n\cos(n\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2})\) et \(y_n = \sqrt{2}^n\sin(n\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2})\)

3. Calculons \(S_n\), \(s_n\) et \(s_n'\). On a:

\(S_n = z_0+z_1+...+z_n\\ S_n = i + (1+i)i + (1+i)^2i + ... + (1+i)^ni\)

On voit que \(S_n\) est une serie geometrique de raison \((1+i)\) et de premier terme \(i\). Dans ce cas, \(S_n\) peut s'écrire \(S_n = i\frac{1-(1+i)^n}{1-(1+i)} = i\frac{1-\sqrt{2}^n(\cos(n\frac{\pi}{4})+i\sin(n\frac{\pi}{4}))}{-i}\) en réutilisant les résultats précédents. Et donc

\(S_n =-1+\sqrt{2}^n(\cos(n\frac{\pi}{4})+i\sin(n\frac{\pi}{4}))\)

Comme \(z_n = x_n + i y_n\) alors \(S_n = s_n + i s_n'\)

Donc \(s_n =-1+\sqrt{2}^n\cos(n\frac{\pi}{4})\) et \(s_n' =\sqrt{2}^n\sin(n\frac{\pi}{4})\)